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Regla de Chio





Es un metodo que permite resolver el determinante de una matriz cuadrada de una manera raida y eficaz.


Es de gran utilidad para los estudiantes que no poseen clculadora electrónica programable y necesitan hallar el valor de una intensidad de corriente o de una tension aplicando la Regla de Cramer



FUNDAMENTOS TEORICOS DE LA REGLA


Se fundamenta en operaciones elementales de fila o de columna y un pivote que por rapidez en las operaciones matemáticas (multiplicación y sustracción) escogemos un elemento identifcado con el número uno (1); si en los elementos del determinante de la matriz no se tiene un elemento identificado con este número, se busca este elemento sacando un factor comun a todos los elementos de uma fila o una columna o se aplican operaciones elementales de fila o de columna, tales como constituir una nueva columna por la suma algebraica de dos columnas.


El objetivo es transformar el determinante de una matriz cuadrada de orden n en una de orden n-1 y asi sucesivamente hasta llegar a un determinante de segundo orden (n=2) donde su solucion es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la otra diagonal. Para ello se requiere conformar una fila o columna con sus elementos nulos (0), exepto un elemento identificado con el numero uno (1) y al utilizar el metodo de solucion de un determinante denominado el metodo de cofactores nos queda un determinante de orden n-1.


Para obtener los ceros (0) de una fila o de una columna debemos primero lograr que los elementos de la fila o columna sean unos (1).


Acordémonos que el producto de una escalar cualquiera por un determinante nos da un determinante en el cual todos los elementos de una fila o de una columna están multiplicados por el escalar: de la misma manera si todos los elementos de una fila o de una columna tienen un factor común se puede sacar este factor a multiplicar el determinante quedando los elementos de la fila o columna divididos por el dígito que identifica a este factor.


Veamos cómo transformamos el siguiente determinante de cuarto orden en uno de tercer orden.



Consideremos el determinante de la siguiente matriz:






Elijamos la tercera fila para convertirla en fila de unos (1), para ello dividimos la primera columna por el elemento a31, la segunda columna por el elemento a32, la tercera columna por el elemento a33 y la cuarta columna por el elemento a34; para que no se altere el determinante multiplicamos el determinante por esos mismos elementos a31a32, a33 y a34quedándonos el siguiente determinante:






Ahora escogemos como elemento pivote el elemento a32, o sea que a32 = 1,quedandonos el siguiente determinante



Los demás elementos diferentes al pivote los convertimos en ceros (0) utilizando las siguientes operaciones elementales de columna:


C1 nueva = C1 - C2
C3 nueva = C3 - C2
C4 nueva = C4 - C2


El determinante nos queda de la siguiente forma:





Resolviendo por cofactores nos queda el siguiente determinante de tercer orden:



 
Donde el signo - es el signo posicional del elemento a32.



Acuérdese que el signo posicional del elemento aij , donde:
 i: número de fila
j: número de columna
 viene dado por: (-1)^(i+j) 
Ahora multiplicamos la primera columna por el elemento  a31 , la segunda columna por el elemento a33 , y la tercera columna por el elemento a34 quedándonos en definitiva el determinante de tercer orden así:



  
APLICACION PRACTICA DE LA REGLA

Consideremos el determinante de cuarto orden con el elemento a32  como elemento pivote.


Dejando por fuera los elementos de la fila y la columna del elemento pivote se observan nueve elementos que forman la siguiente matriz cuadrada de tercer orden:



En la primera columna del determinante miremos como están estos elementos (los que están por fuera de la fila y la columna del pivote) con respecto al elemento pivote; el elemento a11 y el pivote conforman geometricamente los vertices de un rectángulo y los otros dos vertices son los elementos a31 y a12, tal como se muestra:


El producto del elemento a11 por el pivote menos el producto de la otra diagonal es el elemento posicional 11 del nuevo determinante de tercer orden, así:



El elemento a21 y el pivote conforman geometricamente los vertices de una cuadrado y los otros dos vertices son los elementos a31 y a22, tal como se muestra:





El producto del elemento a21 por el pivote menos el producto de la otra diagonal es el elemento posicional 21 del nuevo determinante de tercer orden, así:




El elemento a41 y el pivote conforman geometricamente los vertices de una cuadrado y los otros dos vertices son los elementos a31 y a42, tal como se muestra:



El producto del elemento a41 por el pivote menos el producto de la otra diagonal es el elemento posicional 31 del nuevo determinante de tercer orden, así:






Con el mismo procedimiento en la segunda columna del determinante se obtienen los elementos de la segunda columna del nuevo determinante de tercer orden; así:





Y la tercera columna del nuevo determinante de tercer orden quedara así:



El signo posicional del elemento pivote es el signo - y por consiguiente el nuevo determinante de tercer orden quedara así:


EJEMPLO

Halle el valor numérico del siguiente determinante de quinto orden:






Solución: Escogemos como elemento pivote al elemento a23


Sacando a -1 el factor común de la primera y tercera columna se tiene:




En este determinante de cuarto orden escogemos como elemento pivote al elemento a23





Sacando a 4 como factor común de la segunda columna y a -1 en la primera y tercera columna del determinante de tercer orden y escogiendo como elemento pivote al elemento a33 se tiene:

 







Comentarios

  1. jaja enano de damier al fin algo bueno :p

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  2. Sacando a -1 el factor común de la primera y tercera columna se tiene:
    no entiendo el paso q sigue!!

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  3. El metodo que aplicas es en sintesis el metodo de triangularizacion para tranformar en una matriz triangular cuyo determinante es el producto de la diagonal principal que en resumen es el metodo de chio como primera versión. muy buena tu presentación

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  4. muy bueno loco!!
    vamos a ver como me va en el parcial ahora!

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  5. Te quiero hacer una consulta... espero aun recibas este mensaje en tu bandeja de entrada... que pasa con el a32 que desaparece al elegir este elemento como pivote, si bien vos elegiste a a32=1 en la determinante resultante de substraer el factor a32 (me refiero al a32 inicial, que podemos suponer distinto de 1). Lo que puedo notar es que eliminas los denominadores cuyo elemento es a32, porque lo multiplicas por a32, tanto fuera como dentro de la determinante... pero el 1 que elegiste como pivote no se modifica... porque?... Muy bueno tu blog, y espero tener una respuesta, muchas gracias...

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  6. me gusta!!! podes hacer unos ejemplitos más,, jiji

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  7. ojala me ayude mañana para mi práctica !

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  8. eso se usa en la vida real??

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